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混沌、分形與反饋

2013-08-26  NCW
 
 

 

□ 貝樂斯 文

“道生一,一生二,二生三,三生萬物。 ”簡單的規律演化出複雜的世間萬物。DNA 只有 ATCG 四 種 堿 基,AT 和CG 兩種配對,可決定人類的體貌心智與性情稟性。這種把簡單演化成複雜,把有限變為無窮的機制讓人著迷。無論在自然界還是人類社會,混沌與分形是從簡單變化為無窮的過程,反饋則是轉換的演化機制。

反饋無處不在。反饋,就是把系統的輸出再反過來回饋給系統作為輸入。從自然界到股市,存在著反饋。投資中最重要的概念“複利”就是一種正反饋的結果。按 Y = X×(1+R)不斷循環反饋,當反饋周期變得無窮短時,根據歐拉的發現,這種複利成了自然對數底數 e^R 的形式。現代銀行系統本質也是從存款到貸款再回到存款正反饋機制,一元錢在留下準備金後,在銀行體系內反複循環變為幾元錢。

數學對股市波動的近似描

述是幾何布朗運動,就是以自然對數底數 e 為底的指數布朗運動。聯想到複利的無限循環反饋過程也產生類似的 e 為底的指數結構,這可能也是某種反饋的結果。從實證上看,股市也確實存在反饋。股市的價格變化會影響人的情緒,尤其是大腦的無意識區域,驅動購買 / 賣出行為。更高的價格吸引更多人買入,更低的價格促使更多人賣出;而這些買入 / 賣出行為則進一步推動股價的變化,從而形成了閉環反饋。

為什麼投資者無法戰勝市

場?並非市場機制多有效,而是市場這個系統強大的反饋作用。市場參與者作為市場一部分,也參與到反饋中,讓市場變化多端,難以預測。 “不識廬山真面目,只緣身在此山中” ,更何況人也成為山的一部分。市場的變化,既是原因又是結果。在這方面,索羅斯的“反身論” 更接近實際情況。

最簡單的公式可以演化出

無窮無盡難以預測最複雜的變化,這就是混沌。最簡單的基本形狀可以演化出世間千奇百怪的形狀,而且在不同尺度上高度相似,這就是分形。這兩種奇特現象有個共同的環節就是“反饋” ,是反饋讓這一切不斷發生。反饋的機制,簡單 而基本,卻創造了無窮無盡。

混 沌 系 統 中 的 Logistic Map 其 實 就 是 最 簡 單 的Y=R×X×(1-X) 不斷循環反饋而成,最簡單的公式卻有混沌而千變萬化的結果。

我 們 所 觀 測 到 的“ 隨機” “噪聲” “擾動”可能並非真正隨機,而是混沌系統正常的運轉。比如 Logistic Map的公式可以用于產生隨機數。混沌系統對初始參數非常敏感。

一個規律簡單明確的決定性系統,由於初始條件極其微小的不同,結果可能千變萬化,這就是混沌系統的“蝴蝶效應” 。

“混沌”改變了什麼?傳

統的科學思維,停留在柏拉圖、歐幾里德、牛頓的框架之中,世界是決定性的,如同鐘錶般環環相扣,因果作用明顯,未來可以預測。而混沌的出現,讓人們重新思考世界的不確定性。反饋,讓很多事物既是原因也是結果,讓最簡單的決定性公式演變出最複雜的不確定變化,讓變化與隨機成為必然,讓未來無法預測。我們無法精確預測這個世界的變化,但我們對這個世界的理解更深了。

瞭解到世界如此隨機,如此不確定,這也讓我們能從隨機和不確定性的角度理解一些現象。為什麼創新總是在美國這樣的國家發生?答案就在於創新的高度不確定性。有經過大量的各種不同嘗試,有經過大量的失敗,才會有極少數真正成功的創新存活下來,成長壯大。只有一種制度有足夠的自由度和容忍度,能允許大量的試錯,才會有創新產生。穀歌的背後是無數失敗的創新企業。那種無視隨機與不確定性的計劃指令方式,從機理上就無法產生真正的創新。

正是因為混沌系統的特

點,掌握了明確的規律並不意味著能夠有決定性的結果。人類社會是複雜系統,局部甚至有可能是混沌系統。瞭解了複雜系統,瞭解了混沌的特性,就很難相信陰謀論。複雜系統的狀態千變萬化,混沌系統更難以掌控,人類社會這種系統不是簡單的陰謀就能控制的。

分形是自然界中普遍存在

的現象,是複雜系統自組織臨界的重要特徵之一。自然中的分形、自相似,來源於反饋。

當某種形狀通過自身的反饋不斷循環時,會在不同的尺度產生自相似。歷史總是驚人的相似,這就是人類社會在時間維度的分形自相似。被稱為“上帝的指紋”的曼德博分形圖集(Mandelbrot Sets) 來 自一個最簡單的複平面正反饋 :Y=X^2+C 圖形的公式非常簡單,圖形卻異常複雜,隨著圖形的不斷放大,細節變化無窮無盡,總是自我相似。

在股市中,一樣存在分形。

股市一年、一月、一周、一天、一小時的運行圖形在不同的時間尺度上都非常相似。這種分形的根本機制目前還不清楚,但很可能又是反饋機制的傑作,讓市場在不同尺度上不斷近似重複自己,卻又不完全一樣。

作者為投資業者

混沌 、分 分形 形與 反饋
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