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Kelly Criterion

看到Michael兄義憤填膺地談Kelly Criterion,其實大可不必,現今世界並沒有明文規定誰應該用誰不應該用,別人要用,關你咩事(笑)?Kelly Criterion是上世紀五十年代的產物,已在世60幾年,老過池某好多,如果投資或賭博界人士現在看到Kelly Criterion還像發現新大陸一樣大驚小怪、大呼小叫,其背景知識的匱乏可想而知。

池某應算是寫Kelly Criterion寫得較多的Blogger(不敢說是最多),在Google search “Kelly Criterion 投資”或“Kelly Criterion 賭馬”,排在前面的基本上都是池某的文章。在這裡實在有責任作一個提醒:Kelly Criterion是一把雙刃劍,不能亂用;使用得當,它是一個收益放大器;使用不當,它是一個破產加速器。



當年John Kelly證明Kelly Criterion時,使用的是以二次derivative求optimal的傳統方法,簡潔而漂亮,有Pure Maths根底的看起應該沒什麼難度。然而當完美的理論應用到處處受限制的現實,問題就很多了。

理論與現實最大的差距是“無限”,數學的偉大是什麼都可以解釋到無限,但人類社會活動包括經濟活動都是有限的。使用Kelly Criterion時,即使對概率的計算是準確無誤,也完全有可能在幾次交易之後輸掉絕大部份的資本,理論上這並不是什麼問題,只要再經過無數次交易,最終還是能回復到理論值的結果。問題是現實中並不存在“無數次”交易,只要資本跌至低於最低注碼要求或一手股票的金額,就相當於已破產,翻身無望。

故此,經濟學泰斗Paul Samuelson始終對可以令人隨時破產的Kelly Criterion嗤之以鼻,認為是歪理邪說,並一直對之痛毀極詆。

Kelly Criterion後來在某些領域獲得成功驗證,主要是使用了概率論裡的大數法則(law of large numbers)去解決上述的“無限”或“無數次”問題,例如Edward Thorp在賭場一局接一局地賭二十一點,William Benter在香港的馬場一場接一場地賭馬,都是以不斷重複下注的“大數”,使結果接近理論值。

但要注意的是,無論是Edward Thorp賭二十一點還是William Benter賭馬,Kelly Criterion都只是輔助工具,並不是什麼可以贏錢的神奇公式。Edward Thorp贏錢的關鍵是其數牌優勢,William Benter贏馬的靈魂是其logit model。

既然談到“無限”,有必要說多一些。Kelly Criterion裡的“無限”要求,並非財演大師那招“無限補時”,而是無限交易。如果是所謂價值派那種Buy and Hold操作,只做一次交易,相當於只賭一舖大細,Kelly Criterion根本無用武之地。故Kelly Criterion早期在股票投資領域並不流行,特別是James Simons那種一秒鐘交易數十次的高頻交易出現之前。

Kelly Criterion流行不起來的另一個原因,是這條公式雖然看起來簡單,代入預期回報率和機會率就能得出注碼比例,但實際上我們遇到的賭局都不會只得一個選項那麼簡單,只要出現兩個以上選項,就無法以加減乘除計出最優比例,需要解多重積分的專業知識,才能寫出計算比例分配的Kelly calculator。

Kelly calculator又分兩種,第一種是賭馬的情況,無論一場賽事有多少匹馬上陣,所有馬匹的機會率總和是1,其結果也是互斥的,最終只會有一匹馬勝出;第二種是賭波的情況,很多場波球同時進行,它們的機會率是各自獨立的,賽果也是可以多變的。

第一種情況還算比較容易處理,有較多的條件可以利用,池某多年前就曾屙尿撞棍地撞中一條捷徑,繞過那些煩人的多重積分,寫出了比《計得精彩》隨書附送版本更快更穩定的Kelly calculator,計算14隻馬的“獨贏”注碼,瞬間就能出結果。且能不斷增加選項,即使計算有91個選項的“連贏”注碼,也只需兩三秒時間。

第二種情況就沒這麼簡單,就算避得開多重積分,每加一個選項,也少不免要加個loop,其間還有越來越龐大的排列與組合問題需要處理。池某當年絞盡腦汁,用以近兩個星期時間才成功解決。

要將Kelly Criterion應用於股票的注碼分配,無疑屬於第二種情況。故此,若想知道一個人是否真的研究過Kelly Criterion,還是現學現賣、濫竽充數、招搖撞騙,最簡單的做法就是以第二種情況作試金石,是龍是蟲一試就知,真的假不了,假的真不了:list出20隻期望回報和機會率都不一樣且都是正expected value的股票,如何計算這20隻股票的最優注碼比例?如果沒作過認真研究,別說20隻,計2隻都很大機會計錯。


後記:

池某寫這篇文章時,基本上是一氣呵成,沒有停頓過,但同時內心是幾經掙扎的。一方面,作為在市場內搵著數的小賭徒,池某非常樂見抱著無用工具、使用錯誤方法的水魚衝進市場引頸受戮;另一方面,作為一名曾經的數學老師,看到數學知識被人如此曲解,而這種謬誤還要被傳播,心裡實在不是滋味。

池某過去從不在意自己的文章有沒有人看,但希望各位blog友方便的話可以幫忙轉發呢篇,多一個人看到,未必多一個人獲救,如果能讓盲從羊群、頭腦發熱的人停一停、想一想,已是萬幸。