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Kelly Criterion的應用

上水河馬兄等blog友在上文的留言中談及Kelly Criterion的使用，特別是對於Kelly Criterion是否適用於賭馬，列舉了不同的觀點，池某覺得要三言兩語說清楚這個問題也不容易，故特別找回發表於《信報月刊》三月號那篇文章，雖然內容與池某過去的文章有部份重複，但尚算是較簡單而完整地說明了Kelly Criterion的來龍去脈、適用範圍，以及應用於不同情況要顧及的問題等等。簡而言之，池某的觀點是，不必把Kelly Criterion神化為無往而不利的賭博公式，也不必偏執地把Kelly Criterion貶為無用之物。用得其所，受用不盡；亂用一通，禍患無窮。


1956年，當時美國AT&T公司屬下的《貝爾系統技術期刊》刊發了一篇題為《對信息傳輸速率的重新詮釋》（A New Interpretation of Information Rate）的論文。60年來，論文的內容一面受到投資者、賭徒熱情追捧，一面被名家、學者無情鞭撻。儘管論文的題目早已被人遺忘，它的另一個名稱卻愈來愈廣為人知，那就是Kelly Criterion。

一篇信息學的論文，卻震動了投資界、賭博界，論文的作者John Larry Kelly應不會感到意外，本來他就將論文命名為《信息論與賭博》，只是公司高層因對形象與道德問題有所顧慮，才要求他更改標題。John Kelly這篇論文的出發點就是要計算怎樣以「不公平」的信息從「公平」的賠率中獲利，而且將利潤最大化。

Kelly Criterion，一般譯作凱利公式，其基本形態是這樣的：f=p/a–q/b
其中，f是投入資本的最佳比例，p是盈利的機會率；q是虧損的機會率，在非勝即負賭局中，就是q=1-p了；a是虧損幅度；b是淨盈利率。

一般來說，在賭博遊戲中，輸就輸掉所押賭注，故a=1；如果採用常用的賠率o代替淨盈利率b，即b+1=o，得出：
f=p–q/b=(p*b-1+p)/b=(p*(o-1)-1+p)/(o-1)=(p*o-1)/(o-1)
就是Kelly Criterion最常用於賭博的版本。

例如，以100元本金玩擲硬幣遊戲。假設每次只能押注一面，猜錯會輸掉注碼，猜中賠率為3倍。這是一個對參與者來說明顯有優勢的遊戲，但怎樣才能以最快的速度贏最多的錢呢？想一次過贏得最多，當然是全數押下去，但這樣只要輸一次就「清袋」了；想安全一些，每次押10元如何？似乎效果又很有限。John Kelly在其論文中證明了，Kelly Criterion就是可以令資金增長得最快的公式。

根據Kelly Criterion，這個賭局每次最佳的投入注碼比例為f=(0.5*3-1)/(3-1)=25%。猜中，本金變成100-25+25*3=150元，然後以150元作為新的本金，再以25%的比例下注。如此類推，資本長玩長有，永不可能是零，可以有效避免「清袋」，又能實現以最快的速度增長。理論上很完美，但是．．．

回到實際，即使是機會率50:50的賭局，也並非必然賭兩局就會贏一局的，連贏兩局並不奇怪，連輸兩局也不奇怪，連輸十幾局也是可能的。上述例子的賭局，只要連續五次猜錯，本金就將萎縮至100*0.75^5=23.7元；連錯十次，本金就會只剩下5.6元。理論上這並不是什麼問題，只要再經過無數次押注，最終還是能回復到理論值的結果。但在現實中這是個大問題，如果遊戲要求每注最低限額為10元，連輸九次就是實質破產，沒有翻身機會了。

由此可見，即使是有全面賠率優勢的賭局，即使概率準確無誤，使用Kelly Criterion，也是可能使人快速破產的。這是理論與現實的差距造成的，理論可以解釋到無限，現實是人類社會的活動，包括經濟活動，都是有限的。故看起來很美好、用起來很危險的Kelly Criterion一直備受咎病和質疑，經濟學泰斗Paul Samuelson就斥之為異端邪說，據說連作者John Kelly本人在其有生之年也從不曾使用Kelly Criterion贏過錢。

但Kelly Criterion由始到終都不乏支持者，包括推薦John Kelly發表這篇論文的信息學鼻祖Claude Shannon，數學家Edward Thorp更親赴賭場賭二十一點去驗證，並將其橫掃賭場的經歷寫成Beat the Dealer一書，Thorp還透露，年輕時已與他相交的股神巴菲特，也是用Kelly Criterion的思維方式來投資的。把香港馬場當作提款機的大鱷William Benter也在多個場合表示，所有成功的賭馬集團都是按某個比例的Kelly Criterion分配注碼的。

按某個比例的Kelly Criterion下注，就是成功規避「快速破產危機」的手段，例如使用0.5倍的Kelly Criterion，即每次只以半數的Kelly Criterion賭注下注，雖然回報會略為減少，卻能大大降低波動性，大幅降低破產的可能性。不過，這種為安全買保險而捨棄了增長速度的Kelly Criterion，嚴格來說已稱不上是能令資本增長最快的公式，但與其他投資策略相比較，其效果依然是最好的。

2005年，William Poundstone所著一書Fortune's Formula出版，收錄了John Kelly、Claude Shannon、Edward Thorp與Kelly Criterion發展的詳盡故事，一紙風行，使Kelly Criterion成了家傳戶曉的「財富公式」，也使無數投資者和賭徒爭相仿效，但真正能體驗到Kelly Criterion威力的人並不多。原因有二：其一，很多人只是隨大流追逐Kelly Criterion，而誤以為Kelly Criterion就是一條可以創造財富的公式；其二，不少人都「以為」自己在正確使用Kelly Criterion，實際上並不是那麼回事。

Kelly Criterion本身並不能產生財富，而是任何可盈利系統的最優加速器。例如Edward Thorp在賭場賭二十一點，贏錢的關鍵是他獨創的那套數牌技巧，甚至他後來轉戰金融市場，贏得「量化投資之父」的榮譽，靠的也是他自己所創的，比Black–Scholes model更早的期權定價公式；而William Benter賭馬能贏錢，則是靠他苦心經營的統計模型。Kelly Criterion的角色，只是「輔助」數牌技巧和統計模型把其原本優勢發揮得更有效而已。也就是說，如果使用者手上沒有一套具優勢的投資系統，Kelly Criterion也就沒有著力點了。

另一方面，人們之所以經常誤用Kelly Criterion而不自知，是因為Kelly Criterion看起來很簡單，f= (p*o-1)/(o-1)，只需代入概率p和賠率o，就能計算出最優投入資本比例f，連小學生都能看明白。但現實中的賽局，很少是如上述擲硬幣的遊戲那麼單純的，例如一場馬，有14匹馬上陣，其中有些需要下注有些不需要下注；又如同一時間有10場球賽開賽，同樣其中有些需要下注有些不需下注，那麼最優的投注比例應該怎樣計算？

把問題簡化一些，當作一場有A、B、C三匹馬上陣的賽馬。假設A、B、C三匹馬的勝出概率分別為0.5、0.3和0.2，而實際賠率為2.2、3.2及2.3倍。如果逐個代入Kelly Criterion，那麼只有A值得投注，投入本金比例f=(0.5*2.2-1)/(2.2-1)=8.33%。

大多數投資者都會以為這樣簡單地把概率p和賠率o代入公式就是正確使用了Kelly Criterion，但這是錯的！試看看同時投注A及B的情況，同時投注A和B，回報是1/(1/2.2+1/3.2)=1.3037倍，A和B兩個選項覆蓋了0.5+0.3=0.8的機會率，故最佳投注比例為(0.8*1.3037-1)/(1.3037-1)=14.15%。

所以這個賭局要投入賭本的14.15%，才能發揮Kelly Criterion的威力，按表面數字直接代入得出的8.33%是錯的。14.15%的賭本如何分配在A、B兩匹馬身上，又產生了新的計算問題。而這僅是一場3匹馬上陣的簡單情況，現實中在香港一場賽馬可多至14匹馬上陣，所涉及的計算量和複雜程度已遠遠超出人力所能應付的範圍，一定要編寫電腦程式才能解決。這等於為Kelly Criterion的使用者設置了一個知識和技術的門檻。

不幸的是，賽馬的情況還是相對簡單的，因為無論一場賽事有多少匹馬上陣，所有馬匹的機會率總和一定是1，其結果是互斥的，最終只有一匹馬勝出，有了這些條件可以利用，對跨過了技術門檻的人來說不算是高難度。至少比計算同時進行的多個獨立賽局（例如一個股票組合或同時進行的多場球賽）要容易一些。

故投資者欲以Kelly Criterion在市場裡尋寶，幾個要點不可不注意：第一，自己是否已擁有一個具優勢的可盈利交易系統？第二，自己的知識和技術是否已經跨過了可正確使用Kelly Criterion的門檻？第三，任何時候都不能忘記，即使所有計算都準確無誤，使用Kelly Criterion也是有可能令人迅速破產的。稍一不慎，天堂很遙遠，地獄在眼前。
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