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□ 貝樂斯 文 投資看似複雜多變，無窮無盡，如星空宇宙，實則原理簡明，萬變不離其宗。這個不變的原理是數學。長期投資獲得回報的本質是本金的復合增長。復合增長的速度越快，財富積累的速度越快。要獲得長期的高復合增長，則要從數學上徹底搞明白這個增長率的內在本質。這要從貝爾實驗室的兩位傑出學者香農與凱利說起。 1948年，克勞德· 香農發表了著名的論文《通信的數學原理》 ，奠定了信息論的基礎。 在香農的論文中，引入了一個重要的概念——信息熵。熵的概念來源於物理學，是衡量一個系統無序程度的量。在信息論中，信息熵是衡量不確定性的量。在一個只有兩種可能性，其概率為 p 與 q，而且 p=1-q 的系統中，信息熵的公式是（以2為底的對數）： H = - （plog q + q log p） 。 比如一枚對稱的硬幣，只有正反面兩種可能，正面的可能性 p=1/2，反面的可能性q=1/2，則信息熵為 H=1。香農的理論開創了人類通信的新時代，也啟發了很多人，包括他的同事約翰 ·凱利。 香農在貝爾實驗室的同事 約翰 · 凱利在1956年發表了一篇重要的論文《信息率的一個新解釋》 。在這篇論文中，凱利推導出了賭博者在多次下注時每次投入本金的最佳百分比。利用這個最佳百分比，賭博者可以獲得最大速度的財富增長。如果賭博只有贏與輸這兩種可能，贏的概率為 p，輸的概率為 q=1-p，且p>q。贏，獲得下注的等額回報。輸，則損失全部下注。如果每次下注量占本金的比例為 f，則使本金復合增長速度最大的最佳投注比例為 f=p-q。而賭徒的本金復合增長的速度為 ： G = p log （1+f） + q log （1-f） 。 當我看到這個公式時，第一個直覺就是這與香農的信息熵聯繫緊密。所以，我把這個公式做了一個簡單推導，卻得出了驚人的結論。如果把最佳投注比例f=p-q及 p + q =1帶 入以上公式，就得到了帶有香農的信息熵的最大復合增長速度公式： Gmax = 1-H。 這個公式說明瞭什麼呢？ 一句話概括就是尋求確定勝算，把握最佳的度，過猶不及。 首先，不能參與信息熵接近1的博弈。比如參與50/50的拋硬幣遊戲，其信息熵為1，最佳投注比例為0%，即不參與。也即，無勝算，不參與，不打無準備的仗。任何在勝算不超過50%的情況下 “賭一把”的行為都有害于投資的長期復合增長。那些看似風光，經常參與小概率大回報的投機者無法長期獲得財富的快速增長。 其次，信息熵越高，越不確定，投資的長期復合增長率越低。要想獲得長期的高復合增長，必須投資于信息熵低的確定的目標。為什麼巴菲特總是投資于一些看似乏味，但未來可以預測的穩定增長的消費型公司，而不投資于高科技的微軟或蘋果公司？從信息熵的角度看，那些枯燥乏味的公司不確定性低，信息熵較低。而那些高科技公司的不確定性高，信息熵高。從長期看，從數學的角度分析，當然那些信息熵更低的公司更值得投資。 只有投資于信息熵低的公司，長期才能有高的復合增長率。 過 去 的48年 里（1965- 2012） ， 巴 菲 特 的 伯 克 希爾 · 哈撒韋公司實現了復合增長率19.7%，即 G=19.7%，H=1-G=0.803。如果轉換成前面的簡單拋硬幣遊戲，這相當于在保持最佳投注比例的前提下，巴菲特進行的是有75% 以上勝算的博弈。在半個世紀的時間里長期玩這個高度確定的遊戲，難怪巴菲特富可敵國。 第三，嚴格避免賭性過強，過度下注。在不借貸，不用杠杆的情況下，一個投資者的資金復合增長速度與他的下注比例是一條函數曲線。 從數學上看，即使勝算很高的投資，也存在最佳下注比例的問題。如果過度押注，必然過猶不及，反而獲得更低的復合增長速度。與押注不足增速放慢相比，過度押注還有更危險的地方，即復合增長進入負值區間，也即損失本金。當一個人賭紅了眼，把所有身家都押上，也就是押注比為1時，很容易獲得負100% 的增速，即損失掉所有本金，傾家蕩產。 第四，避免大幅度的虧損。 由於復合增長的特點是相乘的關係，任何一次大幅度的虧損 都能抵消之前長時間的持續盈利，因此投資人很難從哪怕一次大的損失中恢複過來。在十年的時間段里，最後一次70% 的虧損能夠讓之前連續九年每年15% 的復合增長幾乎顆粒無收，即（1-70%）×（1+15%）^9 =1.055。這就是巴菲特常說的“投資的第一條法則就是別虧錢 ；第二條法則就是別忘記第一條法則”的數學解釋。 投資的樂趣在於千變萬 化，不斷挑戰人的智力，而數學之美則在於簡單抽象卻力量無窮，這兩者的結合是一個完美的世界。 作者為投資業者 | ||||||