📖 ZKIZ Archives

重發《閒侃對「四維空間」的點滴認知》 xuyk的博客

    想象——是人在頭腦里對已儲存的表象進行加工改造形成新形象的心理過程，也可理解為對於不在眼前的事物想出它的具體形象。由此可知，由於人類始終局限於“三維世界”里，對於“四維空間”沒有任何一點具體的形象感知與經驗，因此也就無法憑借想象來認識“四維空間”及其事物，只能通過抽象的邏輯來推知一些性質。

    下面就來溫習一下通過邏輯推理對“四維空間”的一些認識。由於自己在這方面所知甚微，認知膚淺，屬於是“小學生”級別的。

    “三維空間”可以認為是由長、寬、高三個維度所構成的空間，這三個維（X、Y、Z）是兩兩互相垂直的。“四維空間”是指，在“三維空間”中再加入一維（A），且與原來的三個維也都兩兩互相垂直。顯然，這一維（A）我們在三維空間里是沒法畫出來的，於是，我們對於“四維物體”的形象也就無從想象。（圖一）

                               圖一：上面右圖，欲通過三維坐標系（X、Y、Z）的焦點，再添加一根A軸，

且與X、Y、Z都兩兩互相垂直，顯然在三維空間中是沒法建立的。

    盡管如此，但我們可以通過邏輯推理來得到“四維空間”的某些性質 ，其中“類比法”是最重要的方法。

    先讓我們來看看“二維空間”的人（二維人）是怎樣認知“三維正方體”（超正方形）的。（圖二）

圖二：三維正方體

    二維人只對平面上的東西具有直觀的形象認識，而對於三維物體，比如三維正方體（圖二），就無法想象了，只能憑借邏輯推理求得一些認知。

    二維人這樣推理：首先假定存在一個更高級的三維空間，而第三維與二維平面是垂直的，於是從平面正方形的4個頂點出發，向第三維延伸出去4條棱（棱長等於平面四方形的邊長），而且它們是互相平行的，然後把這4條棱的各個端點連接起來，便又組成了一個正方形；同時這4條棱分別與原來的正方形以及新構成的正方形的各條邊又各組成4個正方形（側面）；於是，總共就有6個正方形——對於二維人來說，這是個“超正方形”。這樣，二維人對這個超正方形（三維正方體）得到這樣一些抽象的認識：它由6個正方形（二維）構成，有8個頂點、12條棱。（圖二、圖三）

    很顯然，對於這個超正方形（三維正方體），二維人無法在二維平面上畫出來，也想象不出它具體的三維立體形狀。

    再來看看這個超正方形（三維正方體）在二維平面上的投影：（圖三）

圖三：三維正方體在二維平面上的投影

    從這個平面投影圖上，二維人多少看到了這個三維正方體的一些特征，可數出：8個頂點、12條棱、6個變形的面（要想著，其實它們都是大小相同的正方形）。（圖三，右）

    倘若把這個三維正方體旋轉起來，那它在二維平面上的投影狀態如下：（圖四）       

圖四：旋轉的三維正方體的二維平面動態投影圖

    二維人驚奇地看到，線條竟然可以輕易地互相穿越、變化！簡直不可思議！（圖四）

    還有，再來看看三維球體（對二維人來說是“超圓形”）來回穿過二維平面同一處時的情景：（圖五、圖六）

圖五：三維球體（超圓形）穿越二維平面示意圖

圖六：三維球體（超圓形）來回穿越二維平面動態投影圖

    二維人看到這麽個忽大忽小、時而又不見了的變化圓形（圖六），驚訝萬分！他能構想出三維空間里的立體球形嗎？

    正方體、球體可說是三維空間里最簡單的物體，但二維人也只能憑邏輯推理了解到它們的一些特征而已，卻難以想象出它們的具體形狀如何。倘若面對更加複雜的三維物體或高級生命，那二維人必然更加丈二和尚摸不著頭腦了！這實在是因為他們的眼界、思維被二維世界禁錮住了的緣故！

    現在接下來，作為我們“三維空間”的人，可沿用上述二維人的思路，采用“類比法”來推知“四維正方體”（對於我們三維人而言，它是個“超正方體”）的一些性質。

    我們這樣來思考：從正方體8個頂點向垂直於三維的第四維方向延伸出去，延伸長度等於正方體的棱長，這時12條棱也相應地跟著移位出去，於是，它們延伸出去的端點便又組成了一個正方體；同時它們與原來正方體6個面以及新構成的正方體6個面的各條棱又分別組成了6個正方體（暫且就叫它們為“側體”吧），這就像正方形有4條邊，從而形成了正方體的4個側面的道理一樣，正方體有6個面，從而形成了超正方體的6個“側體”；這樣一來，原來1個正方體和延伸出去而新構成的1個正方體，再加6個“側體”正方體，總共就有8個正方體。最後，我們三維人即可抽象地得知這個超正方體（四維正方體）的一些特征：它是由8個正方體（三維）構成，有24個面（正方形）、16個頂點、32條棱。（圖七）

    就像二維人無法得知三維正方體的具體形狀一樣，我們三維人也無法在三維空間中畫出這個超正方體（四維正方體），也就無從想象它在四維空間里會是怎樣的形態。

    類似於三維正方體在二維平面上的投影，下面，我們來看看超正方體（四維正方體）在三維空間中的投影，並且依然沿用“類比法”來理解它的一些特征。（圖七）

圖七：超正方體在三維空間里的投影圖

    從上面這個投影圖中，我們可以看到，超正方體有16個頂點、32條棱、24個變形的面（要想著，其實它們都是大小相同的正方形）、8個變形了的正方體（要想著，其實它們都是大小相同的正方體）。（圖七）

    我們來看看，這個超正方體在三維空間中的展開圖是怎樣的。我們不妨先看一下，三維正方體的6個面展開在二維平面上的一種展開圖（圖八），有6個正方形：

圖八：三維正方體在二維平面上的展開圖，有6個正方形

    接下來，類比平面上展開三維正方體，我們即可推想超正方體在三維空間中的一種展開圖（圖九）：

圖九：超正方體在三維空間中的一種展開圖，有8個正方體

    一共有8個正方體，其中一個正方體被藏在三維展開圖的里面了，這很奇怪吧！這8個展開的正方體在三維空間里，無論你怎麽折疊也不能組成一個超正方體的，它們必須在四維空間里折疊才能恢複原狀，這就好比二維人，怎麽也無法明白那6個展開的正方形，是要在三維空間里才能折疊而恢複正方體的道理一樣。

    如果把這個超正方體（四維正方體）旋轉起來，那它在三維空間上的動態投影非常奇特：（圖十）

圖十：超正方體旋轉時在三維空間里的動態投影圖

    令人萬分吃驚的是，各個面竟然互相隨意穿越，演繹著神話般的穿墻術！（圖十）

    現再將這個超正方體穿過三維空間，我們三維人會看到如下的截體動態變化：（圖十一）

圖十一：超正方體穿越三維空間時的截體動態圖

    假如不告訴你這是個超正方體（四維正方體），鬼相信你能看得出！（圖十一）

    另外，倘若有個超球體（四維球體），那它穿過三維空間的截體投影會是怎樣的呢？是個時隱時現、時大時小而變化的三維球體（圖十二）：  

圖十二：超球體穿越三維空間時的截體動態圖

    你或許覺得，這個超球體穿越三維空間時的截體變化很簡單，然你能想象得出它在四維空間里的確切模樣嗎？若能，你非超人不可！（圖十二）

    由邏輯推知，超正方體及超球體應該算是四維空間里最簡單的物體了吧，然而令人十分遺憾而沮喪的是，我們費盡九牛二虎之力也只能抽象地推斷出它們的一些特征罷了，而根本無力想象出它們在四維空間里確切的形狀如何！假如四維世界真的存在超自然高級生命，作為眼界及思維都被三維世界禁錮住的我們，哪有超強本領能想象得了他們？！恐怕連鬼神和上帝都不能啊！

    現在，運用現代數學，可以建立起更多維（N維）的抽象空間模型，這為現代物理學提供了強大的理論工具，使當代物理學家們得以探索到了11維的物理世界——尤以天才而偉大的天體物理學家史蒂文•霍金為最高代表。

    可見，盡管人類的想象能力有限，但是通過抽象的邏輯手段仍然可以不斷地發現與認識未知世界！