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Kelly Criterion

看到Michael兄義憤填膺地談Kelly Criterion，其實大可不必，現今世界並沒有明文規定誰應該用誰不應該用，別人要用，關你咩事（笑）？Kelly Criterion是上世紀五十年代的產物，已在世60幾年，老過池某好多，如果投資或賭博界人士現在看到Kelly Criterion還像發現新大陸一樣大驚小怪、大呼小叫，其背景知識的匱乏可想而知。

池某應算是寫Kelly Criterion寫得較多的Blogger（不敢說是最多），在Google search “Kelly Criterion 投資”或“Kelly Criterion 賭馬”，排在前面的基本上都是池某的文章。在這裡實在有責任作一個提醒：Kelly Criterion是一把雙刃劍，不能亂用；使用得當，它是一個收益放大器；使用不當，它是一個破產加速器。



當年John Kelly證明Kelly Criterion時，使用的是以二次derivative求optimal的傳統方法，簡潔而漂亮，有Pure Maths根底的看起應該沒什麼難度。然而當完美的理論應用到處處受限制的現實，問題就很多了。

理論與現實最大的差距是“無限”，數學的偉大是什麼都可以解釋到無限，但人類社會活動包括經濟活動都是有限的。使用Kelly Criterion時，即使對概率的計算是準確無誤，也完全有可能在幾次交易之後輸掉絕大部份的資本，理論上這並不是什麼問題，只要再經過無數次交易，最終還是能回復到理論值的結果。問題是現實中並不存在“無數次”交易，只要資本跌至低於最低注碼要求或一手股票的金額，就相當於已破產，翻身無望。

故此，經濟學泰斗Paul Samuelson始終對可以令人隨時破產的Kelly Criterion嗤之以鼻，認為是歪理邪說，並一直對之痛毀極詆。

Kelly Criterion後來在某些領域獲得成功驗證，主要是使用了概率論裡的大數法則（law of large numbers）去解決上述的“無限”或“無數次”問題，例如Edward Thorp在賭場一局接一局地賭二十一點，William Benter在香港的馬場一場接一場地賭馬，都是以不斷重複下注的“大數”，使結果接近理論值。

但要注意的是，無論是Edward Thorp賭二十一點還是William Benter賭馬，Kelly Criterion都只是輔助工具，並不是什麼可以贏錢的神奇公式。Edward Thorp贏錢的關鍵是其數牌優勢，William Benter贏馬的靈魂是其logit model。

既然談到“無限”，有必要說多一些。Kelly Criterion裡的“無限”要求，並非財演大師那招“無限補時”，而是無限交易。如果是所謂價值派那種Buy and Hold操作，只做一次交易，相當於只賭一舖大細，Kelly Criterion根本無用武之地。故Kelly Criterion早期在股票投資領域並不流行，特別是James Simons那種一秒鐘交易數十次的高頻交易出現之前。

Kelly Criterion流行不起來的另一個原因，是這條公式雖然看起來簡單，代入預期回報率和機會率就能得出注碼比例，但實際上我們遇到的賭局都不會只得一個選項那麼簡單，只要出現兩個以上選項，就無法以加減乘除計出最優比例，需要解多重積分的專業知識，才能寫出計算比例分配的Kelly calculator。

Kelly calculator又分兩種，第一種是賭馬的情況，無論一場賽事有多少匹馬上陣，所有馬匹的機會率總和是1，其結果也是互斥的，最終只會有一匹馬勝出；第二種是賭波的情況，很多場波球同時進行，它們的機會率是各自獨立的，賽果也是可以多變的。

第一種情況還算比較容易處理，有較多的條件可以利用，池某多年前就曾屙尿撞棍地撞中一條捷徑，繞過那些煩人的多重積分，寫出了比《計得精彩》隨書附送版本更快更穩定的Kelly calculator，計算14隻馬的“獨贏”注碼，瞬間就能出結果。且能不斷增加選項，即使計算有91個選項的“連贏”注碼，也只需兩三秒時間。

第二種情況就沒這麼簡單，就算避得開多重積分，每加一個選項，也少不免要加個loop，其間還有越來越龐大的排列與組合問題需要處理。池某當年絞盡腦汁，用以近兩個星期時間才成功解決。

要將Kelly Criterion應用於股票的注碼分配，無疑屬於第二種情況。故此，若想知道一個人是否真的研究過Kelly Criterion，還是現學現賣、濫竽充數、招搖撞騙，最簡單的做法就是以第二種情況作試金石，是龍是蟲一試就知，真的假不了，假的真不了：list出20隻期望回報和機會率都不一樣且都是正expected value的股票，如何計算這20隻股票的最優注碼比例？如果沒作過認真研究，別說20隻，計2隻都很大機會計錯。


後記：

池某寫這篇文章時，基本上是一氣呵成，沒有停頓過，但同時內心是幾經掙扎的。一方面，作為在市場內搵著數的小賭徒，池某非常樂見抱著無用工具、使用錯誤方法的水魚衝進市場引頸受戮；另一方面，作為一名曾經的數學老師，看到數學知識被人如此曲解，而這種謬誤還要被傳播，心裡實在不是滋味。

 池某過去從不在意自己的文章有沒有人看，但希望各位blog友方便的話可以幫忙轉發呢篇，多一個人看到，未必多一個人獲救，如果能讓盲從羊群、頭腦發熱的人停一停、想一想，已是萬幸。
PermaLink: https://articles.zkiz.com/?id=229454

繼續Kelly Criterion

投稿到媒體緣於塘人兄那句玩笑話。塘人兄說，懷疑香港的媒體有潛規則，blogger的文章一旦被刊出，就要unlink塘人兄的blog。實踐是檢驗猜說的唯一標準，是真是假，試試便知。


本以為這種blogger的口水貨最多放在網上攝下位走過場就算，沒想到老總很認真地回覆，說看起來也應合雜誌讀者的口味，不如放到雜誌。那就當然要客隨主便了。忽然有一種奇怪的感覺湧起，池某平日的工作是處理別人的來稿，這次卻身份逆轉，變成被處理，聽候發落，報應也。

雜誌是月刊，一個月才出版一次，加上這類稿件沒有時效性，慢慢等吧，只是“實驗”的時程也拉長了，期間塘人兄還要玩搬blog，嚇得池某連忙add晒新舊網址，以確保“實驗”結果可靠。

另一個想不到的是池某的身份被變成“財經博客”，看來要學學Mike兄、森而兄那樣多加些親子、生活題材，將blog的內容多元化了。池某一直沒有為自己所寫內容的定下專門的、特定的範疇，寫這個blog的初衷，在本blog的第一篇blog文已作了說明，就是記下一些需要記得的知識和資訊，特別是那些細微而容易被忽略、漠視的，故取blog名為“積微錄”。

“積微”一詞，出自荀子《強國篇》：

積微，月不勝日，時不勝月，歲不勝時。凡人好敖慢小事，大事至，然後興之務之。如是，則常不勝夫敦比於小事者矣！是何也？則小事之至也數，其縣日也博，其為積也大。大事之至也希，其縣日也淺，其為積也小。故，善日者王，善時者霸，補漏者危，大荒者亡！故，王者敬日，霸者敬時，僅存之國，危而後戚之。亡國，至亡而後知亡，至死而後知死。亡國之禍敗，不可勝悔也。霸者之善箸也，可以時托也。王者之功名，不可勝日誌也。財物貨寶以大為重，政教功名者反是，能積微者速成。詩曰：德如毛，民鮮克舉之。此之謂也。

兩千多年前的文章，論述深刻厚重，指明了為人處事的應有態度，以現代的眼光來看亦不覺過時。文章的大意，用今日的話說，就是大多數人都好高騖遠，對小事不上心，一心只想做大事，實際上這種只想做大事的人，並不如那些認真做好每日小事的人。因為小事很多，每日都有，累計所費的精力與時間很多，但累積的成果也大；真正的大事並不常發生，累計所費的時間與精力不多，積累的成果也少。所以，積累微小之功，實際上是能最快成功的。

用大眾更熟悉的語言來說，就是大多數人一心只想買中隻倍升股或扒個大冷門，一夕發達，實際上最終表現並不如那些長期在平常市況取得平常回報的人，因為大多數市況都是平常的，平常的回報不斷累積就會變得很不平常；而大冷門並不常發生，即使偶然中一次，攤長來看回報也會變得很平常。

中一次100倍和中十次10倍，回報和風險不是一樣嗎？當然不一樣，因為有複式效應，因為有Kelly Criterion。
PermaLink: https://articles.zkiz.com/?id=237849

Kelly Criterion的應用

上水河馬兄等blog友在上文的留言中談及Kelly Criterion的使用，特別是對於Kelly Criterion是否適用於賭馬，列舉了不同的觀點，池某覺得要三言兩語說清楚這個問題也不容易，故特別找回發表於《信報月刊》三月號那篇文章，雖然內容與池某過去的文章有部份重複，但尚算是較簡單而完整地說明了Kelly Criterion的來龍去脈、適用範圍，以及應用於不同情況要顧及的問題等等。簡而言之，池某的觀點是，不必把Kelly Criterion神化為無往而不利的賭博公式，也不必偏執地把Kelly Criterion貶為無用之物。用得其所，受用不盡；亂用一通，禍患無窮。


1956年，當時美國AT&T公司屬下的《貝爾系統技術期刊》刊發了一篇題為《對信息傳輸速率的重新詮釋》（A New Interpretation of Information Rate）的論文。60年來，論文的內容一面受到投資者、賭徒熱情追捧，一面被名家、學者無情鞭撻。儘管論文的題目早已被人遺忘，它的另一個名稱卻愈來愈廣為人知，那就是Kelly Criterion。

一篇信息學的論文，卻震動了投資界、賭博界，論文的作者John Larry Kelly應不會感到意外，本來他就將論文命名為《信息論與賭博》，只是公司高層因對形象與道德問題有所顧慮，才要求他更改標題。John Kelly這篇論文的出發點就是要計算怎樣以「不公平」的信息從「公平」的賠率中獲利，而且將利潤最大化。

Kelly Criterion，一般譯作凱利公式，其基本形態是這樣的：f=p/a–q/b
其中，f是投入資本的最佳比例，p是盈利的機會率；q是虧損的機會率，在非勝即負賭局中，就是q=1-p了；a是虧損幅度；b是淨盈利率。

一般來說，在賭博遊戲中，輸就輸掉所押賭注，故a=1；如果採用常用的賠率o代替淨盈利率b，即b+1=o，得出：
f=p–q/b=(p*b-1+p)/b=(p*(o-1)-1+p)/(o-1)=(p*o-1)/(o-1)
就是Kelly Criterion最常用於賭博的版本。

例如，以100元本金玩擲硬幣遊戲。假設每次只能押注一面，猜錯會輸掉注碼，猜中賠率為3倍。這是一個對參與者來說明顯有優勢的遊戲，但怎樣才能以最快的速度贏最多的錢呢？想一次過贏得最多，當然是全數押下去，但這樣只要輸一次就「清袋」了；想安全一些，每次押10元如何？似乎效果又很有限。John Kelly在其論文中證明了，Kelly Criterion就是可以令資金增長得最快的公式。

根據Kelly Criterion，這個賭局每次最佳的投入注碼比例為f=(0.5*3-1)/(3-1)=25%。猜中，本金變成100-25+25*3=150元，然後以150元作為新的本金，再以25%的比例下注。如此類推，資本長玩長有，永不可能是零，可以有效避免「清袋」，又能實現以最快的速度增長。理論上很完美，但是．．．

回到實際，即使是機會率50:50的賭局，也並非必然賭兩局就會贏一局的，連贏兩局並不奇怪，連輸兩局也不奇怪，連輸十幾局也是可能的。上述例子的賭局，只要連續五次猜錯，本金就將萎縮至100*0.75^5=23.7元；連錯十次，本金就會只剩下5.6元。理論上這並不是什麼問題，只要再經過無數次押注，最終還是能回復到理論值的結果。但在現實中這是個大問題，如果遊戲要求每注最低限額為10元，連輸九次就是實質破產，沒有翻身機會了。

由此可見，即使是有全面賠率優勢的賭局，即使概率準確無誤，使用Kelly Criterion，也是可能使人快速破產的。這是理論與現實的差距造成的，理論可以解釋到無限，現實是人類社會的活動，包括經濟活動，都是有限的。故看起來很美好、用起來很危險的Kelly Criterion一直備受咎病和質疑，經濟學泰斗Paul Samuelson就斥之為異端邪說，據說連作者John Kelly本人在其有生之年也從不曾使用Kelly Criterion贏過錢。

但Kelly Criterion由始到終都不乏支持者，包括推薦John Kelly發表這篇論文的信息學鼻祖Claude Shannon，數學家Edward Thorp更親赴賭場賭二十一點去驗證，並將其橫掃賭場的經歷寫成Beat the Dealer一書，Thorp還透露，年輕時已與他相交的股神巴菲特，也是用Kelly Criterion的思維方式來投資的。把香港馬場當作提款機的大鱷William Benter也在多個場合表示，所有成功的賭馬集團都是按某個比例的Kelly Criterion分配注碼的。

按某個比例的Kelly Criterion下注，就是成功規避「快速破產危機」的手段，例如使用0.5倍的Kelly Criterion，即每次只以半數的Kelly Criterion賭注下注，雖然回報會略為減少，卻能大大降低波動性，大幅降低破產的可能性。不過，這種為安全買保險而捨棄了增長速度的Kelly Criterion，嚴格來說已稱不上是能令資本增長最快的公式，但與其他投資策略相比較，其效果依然是最好的。

2005年，William Poundstone所著一書Fortune's Formula出版，收錄了John Kelly、Claude Shannon、Edward Thorp與Kelly Criterion發展的詳盡故事，一紙風行，使Kelly Criterion成了家傳戶曉的「財富公式」，也使無數投資者和賭徒爭相仿效，但真正能體驗到Kelly Criterion威力的人並不多。原因有二：其一，很多人只是隨大流追逐Kelly Criterion，而誤以為Kelly Criterion就是一條可以創造財富的公式；其二，不少人都「以為」自己在正確使用Kelly Criterion，實際上並不是那麼回事。

Kelly Criterion本身並不能產生財富，而是任何可盈利系統的最優加速器。例如Edward Thorp在賭場賭二十一點，贏錢的關鍵是他獨創的那套數牌技巧，甚至他後來轉戰金融市場，贏得「量化投資之父」的榮譽，靠的也是他自己所創的，比Black–Scholes model更早的期權定價公式；而William Benter賭馬能贏錢，則是靠他苦心經營的統計模型。Kelly Criterion的角色，只是「輔助」數牌技巧和統計模型把其原本優勢發揮得更有效而已。也就是說，如果使用者手上沒有一套具優勢的投資系統，Kelly Criterion也就沒有著力點了。

另一方面，人們之所以經常誤用Kelly Criterion而不自知，是因為Kelly Criterion看起來很簡單，f= (p*o-1)/(o-1)，只需代入概率p和賠率o，就能計算出最優投入資本比例f，連小學生都能看明白。但現實中的賽局，很少是如上述擲硬幣的遊戲那麼單純的，例如一場馬，有14匹馬上陣，其中有些需要下注有些不需要下注；又如同一時間有10場球賽開賽，同樣其中有些需要下注有些不需下注，那麼最優的投注比例應該怎樣計算？

把問題簡化一些，當作一場有A、B、C三匹馬上陣的賽馬。假設A、B、C三匹馬的勝出概率分別為0.5、0.3和0.2，而實際賠率為2.2、3.2及2.3倍。如果逐個代入Kelly Criterion，那麼只有A值得投注，投入本金比例f=(0.5*2.2-1)/(2.2-1)=8.33%。

大多數投資者都會以為這樣簡單地把概率p和賠率o代入公式就是正確使用了Kelly Criterion，但這是錯的！試看看同時投注A及B的情況，同時投注A和B，回報是1/(1/2.2+1/3.2)=1.3037倍，A和B兩個選項覆蓋了0.5+0.3=0.8的機會率，故最佳投注比例為(0.8*1.3037-1)/(1.3037-1)=14.15%。

所以這個賭局要投入賭本的14.15%，才能發揮Kelly Criterion的威力，按表面數字直接代入得出的8.33%是錯的。14.15%的賭本如何分配在A、B兩匹馬身上，又產生了新的計算問題。而這僅是一場3匹馬上陣的簡單情況，現實中在香港一場賽馬可多至14匹馬上陣，所涉及的計算量和複雜程度已遠遠超出人力所能應付的範圍，一定要編寫電腦程式才能解決。這等於為Kelly Criterion的使用者設置了一個知識和技術的門檻。

不幸的是，賽馬的情況還是相對簡單的，因為無論一場賽事有多少匹馬上陣，所有馬匹的機會率總和一定是1，其結果是互斥的，最終只有一匹馬勝出，有了這些條件可以利用，對跨過了技術門檻的人來說不算是高難度。至少比計算同時進行的多個獨立賽局（例如一個股票組合或同時進行的多場球賽）要容易一些。

故投資者欲以Kelly Criterion在市場裡尋寶，幾個要點不可不注意：第一，自己是否已擁有一個具優勢的可盈利交易系統？第二，自己的知識和技術是否已經跨過了可正確使用Kelly Criterion的門檻？第三，任何時候都不能忘記，即使所有計算都準確無誤，使用Kelly Criterion也是有可能令人迅速破產的。稍一不慎，天堂很遙遠，地獄在眼前。
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