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得寸進尺　從獨贏到連贏

完成計算獨贏機率的model，很自然要面對一個問題：即使計算相對準確、長線有利，但實際操作時只會下注有edge的馬匹，而非必然是機會率最大的馬匹，故勝出率不會很高，更難免會出現一個又一個擦身而過的遺憾。

真係“好o既唔靈醜o既靈”，周日一戰，四隻重注馬，“華美之友”、“嫡愛寶”、“華恩庭”和“東方快車”，三隻跑第二，一隻跑第四，如非中隻“宅大大”，獨贏投注差點就顆粒無收，掃興、冇癮。

意外的是試驗中的連贏投注表現很好，起到了失之東隅、收之桑榆的效果，不但“華美之友”、“華恩庭”、“宅大大”和“東方快車”這幾場都是正回報，（下圖為“期惑”搭“東方快車”）



連頭場獨贏投注沒有edge的“四平八穩”搭“彩球”，居然也是正回報：



構思連贏投注系統的出發點很簡單，如果計算出來的獨贏有edge，包含了獨贏機率的連贏也應該有edge，只需要思考的是，怎樣才能保證由獨贏機率推算連贏機率時不會過度偏差。

在“名次的煩惱”一文，池某曾質疑過由獨贏機會率推算位置機會率的可行性，有的馬陣上表現非贏即大敗，有的馬是place王唔識贏，獨贏與位置雖然有關係，卻非劃一的比例關係，因此池某想過不如另闢蹊徑獨立地計算位置的機會率，不過，一試之下，發覺這種想法很難成功，最大的問題，是無法保證計算結果的row sum等於1，特別是一面倒的大熱門，很容易得出位置機會率大於1的荒謬結果。

此路不通就惟有參考別人的做法了，若以可行為前提，方便為標準，最方便的可行之法還是Harville formula。Harville formula是利用條件機率（conditional probability）的計算方法，把B馬跑第二的機會率，變成當A馬不在時B馬跑第一的機會率，A馬跑第一而同時B馬跑第二的機會率就是：
p(A)*p(B)/(1-p(A))
同理，B馬跑第一而同時A馬跑第二的機會率就是：
p(B)*p(A)/(1-p(B))
於是，A馬和B馬構成的連贏機率就是：
p(A)*p(B)/(1-p(A))+ p(B)*p(A)/(1-p(B))

這裡說的方便，不僅是對了解這條公式的人而言，不了解的，同樣很方便就能使用其計算結果，外國有些網站提供online的odds calculator，只需輸入一場馬獨贏的機會率，立即就能計出每匹跑每個名次的機會率，所使用的就是Harville formula，即使不明白其背後原理，使用起來亦全無難度。

針冇兩頭利，選擇了簡單方便，就要放棄另一個重要選項──準確度。前文已經說過，Harville formula的偏差頗大，特別是在冷熱門賠率懸殊的場合。要消除偏差，又要參考別人的做法了。原來早在上世紀八九十年代，就有人指出了Harville formula的偏差，並提出修正之法。先是有Henery和Stern兩人，指出第二名、第三名的機率與頭馬機率分別存在大約0.8和0.65的比例關係，繼而有Lo和 Bacon-Shone，公開了一條修正公式：p^c/Σp^c

公式裡的c是一個常數，計算第二名的c剛好就是0.8，計算第三名的c是0.65。

舉例，一場馬四匹馬上陣，A、B、C、D四匹馬的取勝機率為0.4、0.3、0.2、0.1，用Harville formula計算A搭B的連贏機率為：
0.4*0.3/(1-0.4)+0.3*0.4/(1-0.3)=0.3714

修正版則要先調整四匹馬的機率，
p(A)=0.4^0.8/(0.4^0.8+0.3^0.8+0.2^0.8+0.1^0.8)=0.3706
p(B)=0.3^0.8/(0.4^0.8+0.3^0.8+0.2^0.8+0.1^0.8)=0.2944

再用新的數字代入Harville formula，A搭B的連贏機率變為：
0.4*0.2944/(1-0.3706)+0.3*0.3706/(1-0.2944)=0.345

這條修正公式和《計得精彩》書裡提到的Benter Correction基本上是一樣的，不同的只是William Benter用來計算第二名的c是0.81而非0.8，計算第三名的c則同樣是0.65。修正公式的最大問題也正是在這裡，c並非一成不變的常數，用不同的data在不同的時段計算出來的c是不一樣的，這會否造成新的偏差、新的偏差有多大，又成了新的問題。

不過，話說回來，不管選用什麼版本，只要是選擇了以獨贏機率推算位置機率的做法，最重要的，還是首先要確保獨贏機率計算的準確，我們不可能幻想錯誤的獨贏機率加一個錯誤的連贏計算方法會有“負負得正”的效果，也不可能幻想一個沒有偏差的連贏計算方法建基於錯誤的獨贏機率而能取得成功。

池某知道Michael兄和Peter Pan兄平時都是主攻連贏，歡迎分享心得。
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