博弈的藝術(IV) -- 共同知識2013-06-23 衍生品定價研究
http://xueqiu.com/5094434048/24213480所謂的共同知識，指的是博弈中各方在無窮遞歸意義上均知悉的事實。共同知識對理解一個群體內的個體相互之間的行為策略有著極大的影響。今天我們簡單講兩個實例來聊聊共同知識。相信讀過這兩個故事後，對於一些經常出現的熱門事件，例如熱炒房產、瘋搶黃金等，您會有不同的體會和思考。
第一個遊戲
假設您與其他的99位選手參加同一個比賽，比賽的題目是這樣的：每個人寫下一個1~100之間的數字（該數字只有參賽選手自己知道）並上交給主持人，最終與所有人數字平均數的2/3最接近的那個選手將會獲得萬元大獎。這個時候你會選擇什麼數字?
從博弈的角度來看，雖然每個人的可選策略有100個（分別為1~100的整數），但第一步即可將上述策略分為兩類，大於67的大數策略和小於等於67的小數策略。假設每個人都選擇最大的數字100，那麼所有人平均數的2/3為66.6。而在實際比賽中基本不可能出現所有人都選擇100的情況，因此最終的平均數隻會小於66.6.也就是說，所有選擇大數策略的選手都不可能獲獎。如果從收益的角度來看，大數策略的預期收益為0（不可能獲獎）。因此，如果所有選手都是從理性角度出發，就不會有人選擇大於67的數字作為自己的策略。
在此基礎上進一步推理，在排除了大於67的數字後，假設所有人都選擇了可選擇策略（1~67）中最大的數字67，那麼最終的平均數即為44.6。也就是說，大於45的數也不可能獲獎，那麼45~67的策略收益同樣為0，不會有人選擇大於45的數作為自己的策略。
按照上面的邏輯類推，較大數字的策略就會不斷的被排除。最終的答案也就很明顯了---1.所有人最終都會選擇1作為自己的策略，最後大家平分獎金。而在此過程中不會有人對自己的策略進行改變。因為1個人選擇大數不會對最終的平均數造成很大偏離，（假設99個人都選擇了1，1個人選擇了其他的數字，對平均數造成相對於1的偏移小於此人所選數字相對於平均數的偏移。最終只會讓他失去分配獎金的機會）。
當然，上述推理過程純屬理性推理。事實上，這個遊戲曾經作為耶魯大學博弈論課程的課堂遊戲進行過多次，但是最終的獲獎者都不是選擇1的學生。（在最近幾年的遊戲中，最大的平均數為23，最小的為7）。造成這個結果的原因就在於共同知識的缺乏。
以這個遊戲為例，某個選手知道按照博弈的推理，最優的選擇是1，但這並不能確定最終的決策，他還需要知道其他的99位都知道最優選擇是1，並且知道其他人也都知道他知道最優選擇是1，並且需要知道……，經過這種「我知道你知道我知道你知道……」的無窮遞歸，確定所有的參與者對於事實情況都完全瞭解，不存在任何分歧後，最終的結果才會與博弈推理的結果相同。
這個實驗其實是群體博弈中的定價行為的一個例子，對於我們研究市場的定價行為極有幫助。在上述案例中，相當一部分人選擇了大於1的數字。在這部分人中也分兩種情況，有一部分人對於「選擇1是最優策略」這個事實完全不瞭解，這部分人的最終選擇可能是1~100之間的任何一個數字。還有一部分人瞭解「選擇1是最優策略」這個事實，但同時認識到「不是所有人都具備這個知識」這種可能性，因此選擇了一個相對較小（通常小於20）同時又大於1的數。事實上這部分人的中獎概率是最高的。
第二個遊戲
關於共同知識，還有這樣的一個故事：
在火車的窗戶邊上坐著3個人，在火車穿過山洞時，3個人的臉上都落了灰。3個人都看到其他2個人的臉上有髒東西，但是出於禮貌都沒有說話。這時，旁邊路過的一個老人說了一句：你們3個人中至少有一個人的臉是髒的。3個人互相看了看，然後同時起身去洗手間洗臉去了。
這個故事中的開始階段，3個人都具有相互知識，即互相知道對方的臉是髒的，但不清楚自己的臉是否是髒的。此時3個人都無法完成判斷。
而後老者出現，並且為3個人提供了一個知識：至少有一個人的臉是髒的。3個人都聽到並且確定其他人也都聽到並且確定其他人知道他聽到並且……。因此「至少有一個人的臉是髒的」成為了3個人的共同知識。
而後3人開始第一輪判斷：在他們眼前有2個人的臉是髒的，因此沒有人起身。
緊接著是第二輪判斷，3個人都沒有起身，也就意味著3個人眼前至少都有1個髒臉，也就是說，至少得有2個人的臉是髒的，否則會有一個人看不到髒臉從而意識到自己的臉是髒的。
第三輪判斷，3個人都認識到至少有2個髒臉，而仍然沒有人起身，說明每個人的眼前至少有2個髒臉，也就是說：3個人的臉都是髒的。於是3個人同時起身。
在這個故事中，共同知識對於邏輯推理的幫助是十分巨大的，在開始階段，僅有相互知識卻沒有共同知識，3個人都無法完成推理，但是在具有了一個簡單的共同知識（這個共同知識只是現實的很小一部分，至少一個人臉是髒的和3個人臉都髒）之後，3個人就能很順利的完成推理。在很多時候，共同知識是完成推理和博弈的出發點和必要條件。
這則故事似乎是金融市場中危機爆發的過程的一個描述。在危機爆發之前，似乎人人都覺得對方有問題，自己還是安全的，但是忽然一個聲音告訴我們，人人都可能有問題時，經過短暫的暗流湧動，忽然人人都衝向了那個救命的安全門，市場秩序完全錯亂，危機瞬間爆發。